Hầy mình không nghĩ lớp 7 đã phải làm những bài biến đổi như thế này. Cái này phù hợp với lớp 8-9 hơn.

1.

Đặt $x^2-y^2=a; y^2-z^2=b; z^2-x^2=c$. 

Khi đó: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$

$\text{VT}=a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$

$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$

$=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)$

$=3(x-y)(x+y)(y-z)(y+z)(z-x)(z+x)$

$=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(x+z)$

$=3.4(x-y)(y-z)(z-x)=12(x-y)(y-z)(z-x)$

Ta có đpcm.

Bài 2:

Áp dụng kết quả của bài 1:

Mẫu:

$(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1)$

Tử: 

Đặt $x-y=a; y-z=b; z-x=c$ thì $a+b+c=0$

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=a^3+b^3+c^3$

$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$

$=3(x-y)(y-z)(z-x)(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra \(\frac{(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}=1\)

Bài 3:

\(ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{2^2-2}{2}=1\)

Do đó:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}\)

Ta có đpcm.

Lời giải:
$(x+y)(x+z)(y+z)(y+x)=2(z+x)(z+y)$

$\Leftrightarrow (z+x)(z+y)[(x+y)^2-2]=0$

$\Leftrightarrow x+z=0$ hoặc $z+y=0$ hoặc $(x+y)^2=2$

Nếu $z+x=0\Leftrightarrow x=-z$

$z^2=x^2$ không có cơ sở bằng $\frac{x^2+y^2}{2}$

Bạn xem lại đề.

toi ko bit lam chi biet lam anh thui

Mk cũng khá tốt về Anh nha bạn

ban biet lam cau hoi minh vua gui ko

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :

\(\frac{x^4}{y^2\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{2x}+\frac{x+z}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^4\cdot y^2\cdot\left(x+z\right)}{y^2\cdot\left(x+z\right)\cdot2x\cdot4}}=3\sqrt[3]{\frac{x^3}{8}}=\frac{3x}{2}\)

Tương tự ta cũng có :

\(\frac{y^4}{z^2\left(x+y\right)}+\frac{z^2}{2y}+\frac{x+y}{4}\ge\frac{3y}{2}\)

\(\frac{z^4}{x^2\left(y+z\right)}+\frac{x^2}{2z}+\frac{y+z}{4}\ge\frac{3z}{2}\)

Cộng theo vế ta được :

\(VT+\left(\frac{y^2}{2x}+\frac{z^2}{2y}+\frac{x^2}{2z}\right)+\frac{2\left(x+y+z\right)}{4}\ge\frac{3x}{2}+\frac{3y}{2}+\frac{3z}{2}\)

\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\left(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{x+y+z}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{(\frac{x^2}{y})^2}{x+z}+\frac{(\frac{y^2}{z})^2}{x+y}+\frac{(\frac{z^2}{x})^2}{y+z}\geq \frac{\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)^2}{x+z+x+y+y+z}\)

Tiếp tục áp dụng:

\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{y+z+x}=x+y+z\)

Do đó: \(\text{VT}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x+z+x+y+y+z}=\frac{x+y+z}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$